https://maths-au-quotidien.fr/lycee/surbooking.php Le surbooking Niveau : terminale générale, spécialité ou Maths Complémentaires (seulement partie A). Lien avec le programme : loi binomiale, espérance de la loi binomiale, E(aX+b), échantillonnage, prise de décision, utilisation du tableur. Lien avec Les maths au quotidien : transport, modèle économique. Dans le transport aérien, pour un vol donné, un certain nombre de passagers ayant procédé à une réservation ne se présente pas à l’embarquement. On les appelle les « no-show ». Les causes sont diverses : maladie de dernière minute recherche d’emploi qui a abouti juste avant le départ retard (embouteillages…) prises de plusieurs billets « flexibles » à divers dates avec clauses d’annulation facilitée (les plus chers, souvent pris pour des voyages d’affaires) prise de billets aller-retour au même prix, voire moins chers qu’un billet aller ... Le taux de « no-show » semble se situer en moyenne autour de 5 % (entre 4 % et 10 % selon certaines sources, parfois jusqu’à 20 voire 25 % sur certains vols). Il était plus important il y a quelques années car l’on pouvait annuler sa réservation sans pénalités. C’est un chiffre en fait confidentiel que les compagnies aériennes rechignent à communiquer, et pour cause, car ce taux de non présentation est intiment lié à un autre, beaucoup moins louable pour les compagnies ; celui de la surréservation : Pour chacun de leurs vols, afin d’améliorer le taux de remplissage de l’avion et donc la rentabilité du vol, les compagnies n’hésitent pas à proposer un nombre de réservations supérieur au nombre de places dans l’avion : C’est la surréservation, ou surbooking. Chaque année un certain nombre de voyageurs sont victimes de cette pratique et ne peuvent embarquer, faute de place disponible. En fait, sur un vol donné de n places, les n premiers passagers arrivés prennent leur vol (certains peuvent être surclassés, ça c’est une bonne nouvelle pour eux) et les autres sont dédommagés financièrement. Pour un certain vol futur, le nombre de places en surréservation est calculé à partir de l’estimation du coût de non embarquement (dédommagement, prise en charge des frais d’hôtel, de restaurant, d’appels téléphoniques…) et du taux estimé de no-show pour ce vol. Ces coûts pour la compagnie sont précisément réglementés. La compagnie estime le taux de « no-show » à partir de l’analyse des taux d’annulation et de non présentation sur les vols de la même ligne aérienne, aux mêmes dates, sur plusieurs années, en tenant compte des évènements exceptionnels. Étudions un exemple : Bien que les « no-show » sont surtout des businessmans qui ont pris des billets « flexibles » (plus chers), on supposera dans la suite que toutes les personnes ayant procédé à une réservation ont la même probabilité de ne pas se présenter à l’enregistrement et que leurs comportements sont indépendants les uns des autres. Partie A Sur le vol 314159 du 5 avril 2022, à destination de Saint Denis de la Réunion, la compagnie Maths-au-quotidien Airways va utiliser l’un de ses puissants A340-300 d’une capacité de 275 places. Elle décide de proposer un nombre n>275 de réservations. La compagnie estime le taux de « no-show » sur ce prochain vol à 6 %, c’est-à-dire que chaque personne qui a réservé a 94 chances sur 100 de se présenter à l’enregistrement. Elle voudrait avoir au moins 95 % de chances que tous les passagers embarquent dans l’avion (d'une capacité de 275 places). On note Xn la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant réservé qui se présentent à l’embarquement. 1. Compléter la phrase suivante : la compagnie cherche la valeur maximale de n telle que : P(Xn≤275)≥0,95 2. Xn suit la loi binomiale de paramètres n et 0,94 3. Xn est une variable binomiale de paramètres n et 0,94. A l'aide d'un outil numérique, le plus grand entier n tel que P(Xn≤275)≥0,95 est : 286 La compagnie va donc proposer 286 places pour 275 sièges dans l'avion, c'est à dire 11 de plus. Partie B La compagnie, en faisant du surbooking, cherche principalement à optimiser son chiffre d’affaire. Cette optimisation est en réalité très complexe au vu de tous les paramètres mis en jeu, mais nous allons étudier ce chiffre d’affaire sur un exemple simplifié. Maintenant, sur ce même vol, la compagnie Maths-au-quotidien Airways espère vendre le billet aller 800 euros en moyenne (toutes classes confondues). Elle estime qu’elle devra rembourser au total 60 % des billets des personnes « no-show » et payer en moyenne 200 % du prix du billet pour chaque passager qui ne pourront pas embarquer car le vol est complet (prix du billet + 600 € pour le passager + prise en charge du passager…). La compagnie se demande quel nombre n de billets elle doit vendre afin d’optimiser son chiffre d’affaire relatif aux données ci-dessus. On rappelle que Xn désigne la variable aléatoire désignant le nombre de personnes ayant acheté un billet et se présentant à l'embarquement. On note Yn le nombre de personnes ayant acheté un billet, se présentant à l'embarquement et obtenant un refus d’embarquer (vol complet). On note Gn la variable aléatoire désignant le chiffre d’affaires lié aux billets, en centaines d’euros, de la compagnie sur ce vol. L'esperance de Xn est 0,94n Yn est égale à max(Xn - 275; 0) 3. L’expression de Gn en fonction de n, Xn et Yn est : 3,2n + 4,8Xn - 16Yn 4. On suppose dans cette question que n≤275 (absence de surbooking). L’expression de Gn en fonction de n, Xn et Yn est : 3,2n+4,8Xn